发布日期：2024-08-24 04:43 点击次数：179
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解证几何问题时，通常需要在图中另外添加一些线，通常称为援救线.在图中一般画为虚线.常见的援救线主要为直线、线段、射线、圆或圆弧等.以下选题来自《初中数学竞赛中的平面几何》为什么要添加援救线呢？
解几何题是从题设要求启程，诈欺正确的逻辑推理，取得题断的成果.咱们遭遇的几何题并非一齐要添线，有些则需要添线.为什么有的几何题一定要添线呢？咱们从以下两个具体的例题道起。图片
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解法分析：领先把柄题意画出相应的图形：图片
要解说AE=AG，只需要解说∠G=∠3，问题的要津在于如何由AB=CD等题设来证得∠G=∠3。由于AB，CD的位置散布，它们与∠G和∠3的接头不易径直不雅察到。因此，必须设法添加援救线使得相对散布的情状变得相对长入，使它们之间的接头由隐敝变为显著。为此，需要构造与∠G和∠3绝顶的等角。联接BD后，取BD的中点O，联接OE、OF。通过构造中位线，将AB=CD休养到了OE=OF，这么将∠G休养到了∠1，∠3休养到了∠2，使整个关联联的元素王人长入到了△OEF中。因此，只需要解说∠1=∠2，就不错措置问题。
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解法分析：由已知中AB=AC=AD=a，可知B、C、D在以A为圆心，a为半径的圆上，因此需要作念出这个“隐圆”。这么就掀开了念念路，使得隐含在题中的关系得以潜入。图片
因此，延伸BA交圆A于点E，联接DE。易证∠EDB=90°，由CD//AB，可得DE=BC=b，因此借助勾股定理不错猜度BD的长度：图片
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通过上述两个例子不错标明，解证几何问题，便是由已知启程，用逻辑推理搭建已知和未知的桥梁。因此，关于具体问题具体分析，当要求和论断之间莫得明确的指向性时，咱们需要期许添加援救线，创造休养的要求，从而将已知和未知中的关联元素有机地串联起来，从而有用地措置问题。添加援救线有以下三个作用：① 使复杂的问题休养为咱们所老练或早已掌抓、措置的问题，比如在“解说中位线定理”时，咱们不错添加援救线，将问题休养“借助三角形中位线定理进行解说”；② 使图中隐含的关系潜入出来(例2)；③ 使不径直接头的元素发生接头。
关于援救线的添加不是所心所欲的，当遭遇某些要求不成径直与论断发生接头时，为发掘、创设这些要求接头的门道而射线和决定在图中添加什么援救线，若何添加援救线。这才是正确意会添加援救线的次第和精髓。添线的原则
原则一 化繁为简
添加援救线有助于：① 把复杂的图形化为苟简的图形；② 把复杂的图形分割成些许个苟简的问题；③ 把不法例的图形休养为法例的图形。不论添线如何复杂，仔细分析，王人是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来足下“繁”。
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解法分析：由于∠BCA=20°，∠EDC=80°，是以CE=CD。径直猜度两个三角形的面积很艰苦，要遭遇求相当角的锐角三角比。但堤防到∠ABC=60°这个要求，把△ABC回话为一个边长为1得正三角形。为此，延伸BA到G，使BG=BC=1，如下图所示，联接CF，则易知△ABC≌△FGC，且AC=CF，∠ACF=20°。
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于是△ACF∽△ECD，又CA=2CE，是以：图片
此题添线后从标明看使图形变得复杂了，但本色上则使用不法例图形休养为法例的正三角形，达到化繁为简的主义。同期也使咱们捕捉到了解答本题的门道。原则二 相对长入
添设援救线通常将已知和未知中的接头元素长入在消亡个三角形中或长入到两个关联(全等、双方对应绝顶、雷同)的三角形中。只好元素相对长入，才便于接头与比拟，从能充分应用接头的几何定理。图片
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解法分析：要证BD+CE>DE。需要设法把三条线段长入到消亡个三角形中，为此，由M是BC的中点，DM⊥EM，使咱们理意想不妨用轴对称“翻折”的次第。如图所示，在DM的延伸线上取D'，使MD'=MD。联接ED'，CD'，易证ED'=DE，CD'=BD(△BDM≌△CD'M)。最终把BD，DE，CE三条线段休养为CD'，ED'，CE，长入到△CED'中，从而利用“双方之和大于第三边”得证。图片
添线的手艺
添加援救线，从举座上看，不错意会为把图形的一部分变换到另外的位置，以此来收场要求和论断的接头。这些变换好多，常用的是平移和旋转，它不蜕变线段的长度与角的大小。次第一 平移通常通过相当点添平行线，或利用三角形中位线性质构造平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置。
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解法分析：本题同例1的解题战略如出一辙。即通过线段的平移将∠1和∠2扬弃在一个三角形中。
如左图，通过“四次”平移，构造平行线四边形ABMF和平行四边形DFNC，继而构造全等△BME和△ENC，从而解说E为MN的中点，利用等腰三角形的三线合一解说∠3=∠4。利用MF//AB，CD//FN，得∠1=∠3，∠2=∠4，继而得证。
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如右图，借助三角形的中位线定理，通过联接BD，构造AB和CD的一半，得等腰△GEF，从而得证。次第二 旋转
在具有等边和相当角的图形中，将图形一部分绕定点旋转一相当角，通常使散布的要求相对长入，夸耀出些许新的接头。图片
解法分析：本题中要解说∠AMB=∠DMC，由于∠AMB和∠2互余，而∠1=∠2，同期AB=AC，因此期许构造与△ABM全等的△ACN，相等于将△ABM平移加旋转得△ACN。再解说△DMC和△DCN全等即可得证。
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换取的措置旅途在2023上海长宁二模25题第(3)问中也有体现：图片
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解法分析：本题中要解说A、P、C三点共线，不错通过解说∠APB+∠BPC=180°进行解说。由于AP、BP、CP三条线段的位置比拟散布，因此不错通过旋转△ABP(绕点B顺时针旋转90°)至△BCP'，借助勾股定理逆定理得∠PCP'=90°，从而把柄∠PCP'+∠PBP'=90°，得P、B、P'、C四点共圆，继而得∠BPC与∠BP'C互补，而∠BP'C=∠APB，继而得证。
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常见雷同模子中的“手拉手模子”以及“半角模子”便是利用旋转取得雷同三角形或全等三角形收场线段的休养。
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——The End——
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